銀座の老舗買取店が丁寧でおすすめです。
私も以前そちらでダイヤモンドを売却しましたが、査定の根拠を詳しく説明してくれて安心できました。
複数店舗で見積もりを取ることをおすすめします。

鑑定書があるのは良いですね！
古い鑑定書でも、GIAやCGLなどの信頼できる機関のものであれば問題ありません。
私は新宿の買取店を利用しましたが、事前予約制で待ち時間がなくスムーズでした。